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假设我抛硬币10次，每次都是人头面朝上。下一次抛硬币时人头面朝上的概率是多少？ 听到这个问题，你的白眼可能要翻上天了，因为这个思维试验你肯定已经听过不下十几遍了，而且知道答案永远都是50%。但是如果我告诉你答案并不是呢？ 在刚刚问问题时，我故意遗漏了一个关键词没说，那就是“公平”。这枚硬币是“公平的硬币”，意味着抛出人头面和花面的概率是相同的。

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当然，问这个问题好像有点莫名其妙：这个试验的前提是硬币抛出两面的概率是五五开，然后我又问抛硬币的概率是多少。 我们都知道，这个思维试验的目的，是为了解除人们的一个认知，认为五五开的概率就意味着结果也是按照五五开来分配的。但是硬币在过去抛出更多的人头面，并不代表它就“欠”你花面了。 事实上，世界上并没有完全完美的公平硬币。如果一枚硬币用某种方式抛出了很大的样本量，你可能会相信有谁在操纵结果。不过，就算忽视这个可能性，正常的硬币两面的雕花设计也是不同的，这意味着两面的金属分配并不平均。即使特制一枚公平的硬币，还要考虑制作上的缺陷，以及抛硬币的人的技术导致多抛了其中一面。 假设你相信硬币并没有故意设计为不公平，那么就不该认为下一次抛出人头面的概率大于50%。但是，你连续抛出的人头面越多，之后再抛出人头面的概率其实会多一点点。如果你要就同一枚硬币抛出两面的机会赌钱的话，更合理的办法是赌过去出现次数更多的那一面。 迷信和理由 从这个角度来看，抛硬币这个思维试验跟生活中很多事非常像。这个世界并非由“公平的硬币”组成，上面清晰标明了概率。这个世界充满了复杂的事和复杂的人，他们的行为取决于无数的变量。我们要穿过纷乱，先从简单的设想开始（比如硬币抛出人头面和花面的概率相同），然后在新的证据出现后再更新这个简单的设想。 可惜，在选择这些设想和更新设想时，许多人容易犯两个错误。GG扑克下载 大部分人，尤其是没接受过很多正统教育的人，容易依赖自己的本能。我在前面的文章中说过，本能容易让我们产生迷信。有些单纯依赖本能来预测结果的人，容易根据少量的观察过快做出设想，然后对这个设想投入过多的执念。然后他们会成为正式性偏见的受害者，阻碍他们根据新的信息更新设想的能力。 不过，迷信思想并不是唯一出错的地方。有些人学会了要用批评的眼光进行思考，但在进行科学证明时走了极端。他们要求事情一定要被证明完全正确了才能接受，对自己的经历和别人的经历重视不够，除非这个证据满足了他们证实的标准。 “统计显著性”是科学论文的事，“合理怀疑”这个概念则最好留在法庭。除了这些专门的领域，要求事情必须100%肯定是真的才能接受，说明你并没有有效使用生活中的经验，你成了“只会读书不会生活的书呆子”。 幸运的是，在本能和理性之前存在一个中间地带，那就是直觉。培养直觉让我们的本能在现实中得到检验，同时提醒理性的大脑，这些本能的存在是有原因的。找到两者之间最好的点很难，但有一个简单的数学工具可以帮助我们。 贝叶斯定理 贝叶斯定理的公式相当简单，但蕴意深刻。它能让你知道，到什么程度应该根据新的信息来更新原有的概率。这样抽象地说你肯定很迷茫，所以我们先举个具体的例子，然后再看公式。 扑克玩家互相之间总在借钱。这是一项工作，也是一种文化，因为应付波动是很困难的，如果你不愿意借钱给别人，别人也不会借钱给你。但是，骗子和人渣很多，你借出去的钱总有收不回来的风险。 在很多情况下，骗子不会骗第一次就跑。他们通常会先借几次然后还几次。不过，借完钱就失踪这种现象还是有迹可循的，典型的标志就是拖到很晚才还。不过，诚实的人也会因为超出控制的因素而晚还钱，所以你一定很好奇，该如何根据第一次借钱晚还这件事来判断一个人是不是骗子呢？贝叶斯定理告诉我们，如果我们可以对以下概率做出合理的猜测，就能计算出这个概率： ● 任何一位扑克玩家是骗子的概率（也就是这个群体中有多少百分比的人已经欺骗或将要欺骗别人） ● 晚还钱这件事整体上发生的频率 ● 骗子晚还钱的频率 请注意，尽管我们需要三个概率来计算一个概率，看起来好像更难了，但这些通用的概率是可以通过在扑克圈的经验和听过的故事来估计的。相反，如果这是我们第一次跟不熟的人有金钱上的往来，我们对他是骗子的概率并没有直接的信息，这就是贝叶斯定理起作用的时候了。 我们假设10%的扑克玩家曾经骗钱或将要骗钱，扑克圈内借钱晚还的整体频率是15%，骗子晚还钱的频率是45%。 因此我们认为这个人是骗子的先验概率为10%，假设这个骗子会晚还钱，我们再看怎么算。这个逻辑很简单：从45%到15%，我们估计骗子晚还钱的可能性是整体人群的三倍（包括骗子和非骗子）。因此，我们把先验概率乘以3，所以这个不熟的人将来欺骗我们的概率现在是30%。 我们可以把贝叶斯定理写成如下公式： P(A|B) = P(A) x P (B|A) / P(B) P(A)和P(B)是A和B单独发生时的整体概率。P(A|B)指的是当我们知道B时，A的发生概率，P(B|A)是当我们知道A时，B的发生概率。 我说过抽象来看会很难懂，下面举一个例子，你一定就明白了。